本文记录MATLAB/CVX工具包添加自定义函数的示例。
背景
最近考虑的一个优化问题中出现了如下的函数：
\[f(x, y)=\begin{cases} y 2^{\frac{x}{y}}, & x > 0, y > 0\\ 0, & y = 0, x \geq 0\\ +\infty, & \text{otherwise} \end{cases}\]首先, 这个函数实际上是$2^x$的perspective function（参见Boyd 教材, P103, 3.2.6）, perspective function具有保凸性质, 而$2^x$为凸函数, 所以$y 2^{x/y}$是凸函数。
虽然这个函数是凸函数, 但是其形式并不能直接通过cvx表达式表示, 因为$\frac{x}{y}$是{affine}./{affine}违背了cvx的DCP ruleset。实际上在给定的定义域内$\frac{x}{y}$是convex的, 但是$y \cdot 2^{x/y}$ 为{affine}.*{convex}同样违背了DCP ruleset。总而言之, 这个函数不能直接应用于cvx的语境中。
解决方案
而cvx提供了增加自定义凸（凹）函数的方法, 在用户手册中以Adding new functions to the atom library章节给出, 其中提供了两种方式, 一种比较直观, 通过符合DCP ruleset的函数或操作符的组合所形成的函数, 实际上这种方式是一种简单的封装；但在这里并不适合本函数, 原因已在之前给出。另外一种方式, 是把原问题转化为另一个凸（凹）问题, 转换后的问题符合DCP ruleset或借助cvx提供的若干函数, 诸如：rel_entr, 我理解这种方式写成的函数在新的cvx环境下就构成了cvx的嵌套。本函数可以通过第二种方式表达, 如下所示：
function cvx_optval = myFoo( x, y )
cvx_begin
variables z;
minimize( z );
subject to
{x * log(2), y, z} == exponential;
cvx_end
注意到, myFoo有两个输入参数x和y, 这两个参数实际上都是cvx expressions, 而非numerical inputs；另一方面, {x * log(2), y, z} == exponential表示的是{x * log(2), y, z}满足关系$y e^{\frac{x \ln (2)}{y}} \leq z, y>0$。因此, 通过minimize z同时将结果传递给cvx_optval就可以得到这个函数的结果了。具体用法如下12：
cvx_begin quiet
variables x y
minimize ( myFoo(x, y) )
x >= 2; y<= 3;
cvx_end
本例中myFoo是作为目标函数给出, 同样的, 这个函数也可以出现在约束条件中, 如下：
cvx_begin quiet
variables x y
minimize ( x + y )
x >= 1
myFoo(x, y) <= 10;
cvx_end
综上, 我们就通过用户手册中给出的第二种方式添加了自定义的凸函数, 可以用于cvx的编程了。