尺规作图与正十七边形

 

李永乐老师的视频中简明扼要地说明了尺规作图可作图的概念以及尺规作图与代数运算的关系, 在此基础上说明了高斯通过尺规做出正十七边形的原理, 很有意思!

视频

小结

简单总结如下:

尺规可画出的代数操作包括:

  • 加、减、乘、除
  • 开方, $\sqrt{a}$
(a) 乘法演示: $a, b \rightarrow ab$
(b) 倒数演示: $a \rightarrow {1}/{a}$
(c) 开方演示: $a \rightarrow \sqrt{a}$

那么在此基础上, 通过尺规即可画出任意有理数以及根式(包括嵌套的根式)。而做一个圆内接正十七边形等效于做出一个圆周角的十七分之一, 也就是需要做出$\cos(\frac{2\pi}{17})$, 而实际上该值恰好可以表示为根式嵌套的形式如下1:

正十七边形

最后附上正十七边形作图的过程动画1:

高斯真是个天才!